Método de división larga

Hemos estudiado la suma, la resta y la multiplicación. Ahora es el momento de la división. Al igual que la resta se puede componer a partir de la suma y la negación, la división se puede componer a partir de la multiplicación y la reciprocidad. Así que nos planteamos el problema de encontrar 1/z dado z. En otras palabras, dado un número complejo z = x + yi, encontrar otro número complejo w = u + vi tal que zw = 1. A estas alturas, podemos hacerlo tanto algebraicamente como geométricamente. Primero, algebraicamente. Utilizaremos la fórmula del producto que desarrollamos en la sección sobre la multiplicación. Decía

Ahora, en nuestro caso, z estaba dada y w era desconocida, así que en estas dos ecuaciones x e y están dadas, y u y v son las incógnitas a resolver. Puedes resolver fácilmente u y v en este par de ecuaciones lineales simultáneas. Cuando lo hagas, encontrarás

Puedes ver en el diagrama otro punto etiquetado con una barra sobre z. Se llama el conjugado complejo de z. Tiene la misma componente real x, pero la componente imaginaria está negada. La conjugación compleja niega la componente imaginaria, por lo que como transformación del plano C todos los puntos se reflejan en el eje real (es decir, se intercambian los puntos por encima y por debajo del eje real). Por supuesto, los puntos del eje real no cambian porque el conjugado complejo de un número real es él mismo.

Multiplicación

Para los alumnos de 3º curso en adelante, el salto de la multiplicación a la división puede ser difícil. Este artículo explica qué es la división, junto con las diferentes partes de un problema de división (cociente, divisor y dividendo) y cómo utilizar el algoritmo estándar para la división. Se incluyen dos lecciones para introducir y desarrollar el concepto a tus alumnos. Ambas lecciones están diseñadas para practicar la división fluida de números de varios dígitos utilizando el algoritmo estándar, un estándar común en los grados 5-6.

Para enseñar la división, suele ser útil empezar por la multiplicación. La expresión matemática 3 × 5 representa tres grupos con cinco elementos en cada grupo. Para hallar el producto, los alumnos pueden construir un modelo de tres grupos con cinco elementos en cada grupo, como se muestra a continuación.

Recuerda que la multiplicación “deshace” la división y la división “deshace” la multiplicación. En otras palabras, como 3 × 5 = 15, entonces 15 ÷ 5 = 3 (y análogamente, 15 ÷ 3 = 5). Como la división y la multiplicación son operaciones inversas, los alumnos pueden utilizar modelos similares para representar ambas operaciones. En la expresión 15 ÷ 3, se empieza con quince elementos y se quiere saber cuántos grupos se pueden hacer con tres elementos en cada grupo. A continuación se puede ver que esto da como resultado 5 grupos.

División matemática

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A nivel elemental la división de dos números naturales es, entre otras posibles interpretaciones, el proceso de calcular el número de veces que un número está contenido en otro[1]: 7 Este número de veces no tiene por qué ser un número entero. Por ejemplo, si se dividen 20 manzanas por igual entre 4 personas, cada una recibe 5 manzanas (ver imagen).

La división con resto o división euclidiana de dos números naturales proporciona un cociente entero, que es el número de veces que el segundo número está completamente contenido en el primero, y un resto, que es la parte del primer número que queda, cuando en el transcurso del cálculo del cociente no se puede asignar ningún trozo completo más del tamaño del segundo número. Por ejemplo, si se reparten 21 manzanas entre 4 personas, cada una recibe 5 manzanas de nuevo, y queda 1 manzana.

División por cero

Esta unidad desarrolla la comprensión de la multiplicación y la división, incluyendo la relación inversa entre las dos operaciones, y cuándo y cómo utilizarlas en situaciones de resolución de problemas. Los alumnos aprenden las convenciones de cómo se representan las operaciones de multiplicación y división en forma de ecuaciones.

Esta secuencia de lecciones establece la conexión entre la suma y la multiplicación repetidas. Introduce la división y explora la relación entre las operaciones de multiplicación y división.

Al explorar la estructura y el patrón de la multiplicación y la división, también se hace hincapié en el desarrollo de una comprensión temprana de las propiedades de los números. La propiedad conmutativa de la multiplicación se explora formalmente en estas lecciones. La propiedad distributiva, en la que uno o ambos factores se dividen, (por ejemplo, 12 x 55 = 10 x 55 + 2 x 55), es fundamental para las estrategias de cálculo, incluidos los algoritmos escritos.

Al explorar el comportamiento de las operaciones de multiplicación y división, es importante que los alumnos hagan generalizaciones en las que puedan afirmar “lo que siempre ocurre” cuando se realizan determinadas acciones. Por ejemplo, reconocer que la regla de la “vuelta” (conmutativa) es siempre cierta para la multiplicación, pero que no lo es para la división.